Puncte De Extrem Local F(X Y) Exercitii Rezolvate

Puncte de extrem local f(x,y) – exerciții rezolvate

Punctele de extrem local sunt punctele dintr-o funcție f(x,y) în care valoarea funcției este maximă sau minimă. Aceste puncte sunt importante în cercetarea matematică, deoarece pot oferi informații despre comportamentul funcției într-un anumit interval de valori. În acest articol, vom discuta despre punctele de extrem local ale unei funcții f(x,y) și vom rezolva câteva exerciții practice.

Definiția punctelor de extrem local

Punctele de extrem local sunt punctele în care funcția f(x,y) are o valoare maximă sau minimă, iar această valoare nu poate fi depășită sau subpasată într-o vecinătate a punctului respectiv. Cu alte cuvinte, f(x,y) nu poate fi mai mare sau mai mică decât valoarea sa în punctul respectiv, în condițiile în care x și y sunt suficient de aproape de punctul respectiv.

Când discutăm despre puncte de extrem local, este important să facem distincție între un maxim (sau minim) absolut și un maxim (sau minim) local. Un maxim (sau minim) absolut este cel mai mare (sau cel mai mic) punct al funcției f(x,y) în întregul domeniu de definire. În schimb, un maxim (sau minim) local este cel mai mare (sau cel mai mic) punct al funcției f(x,y) într-o vecinătate a punctului respectiv.

Exemplu: f(x,y) = x^2 – y^2

Pentru a găsi punctele de extrem local ale funcției f(x,y) = x^2 – y^2, vom utiliza următorii pași:

1. Calculăm derivatele parțiale ale funcției f(x,y) față de x și y:

fx = 2x

fy = -2y

2. Setăm derivatele parțiale egale cu zero și rezolvăm sistemul de ecuații:

2x = 0

-2y = 0

Soluția acestui sistem de ecuații este x = 0 și y = 0, deci punctul (0,0) este un punct critic al funcției.

3. Calculăm matricea hessiană a funcției f(x,y):

H = (fxx fxy)

(fxy fyy)

În cazul nostru, avem:

fxx = 2

fyy = -2

fxy = 0

4. Evaluăm matricea hessiană în punctul critic (0,0):

H(0,0) = (2 0)

(0 -2)

5. Determinăm semnul determinantului matricei hessianei în punctul critic:

det(H(0,0)) = (2 x -2) – (0 x 0) = -4

Rezultatul negativ al determinantului matricei hessianei indică faptul că punctul (0,0) este un punct de extrem local, și anume un minim local.

Concluzie

Punctele de extrem local sunt puncte critice importante în analiza matematică, deoarece pot oferi informații despre comportamentul funcției într-un anumit interval de valori. Pentru a găsi punctele de extrem local ale unei funcții f(x,y), trebuie să calculăm derivatele parțiale ale funcției, să setăm derivatele egale cu zero și să evaluăm matricea hessiană a funcției în punctul critic. Semnul determinantului matricei hessianei ne indică dacă punctul respectiv este un maxim sau un minim local.